การขยายเวลา

การขยายเวลา

การขยายเวลา ถือว่าเป็นเป็นบทๆหนึ่งที่ยากในภาษาอังกฤษ การขยายเวลาคือการดำเนินการอย่างต่อเนื่อง
โดยการใช้การขยายเวลา ให้ใส่ To be: am/are/is + ing หลังคำกริยา
ยกตัวอย่างความเเตกต่างระหว่างปัจจุบันทั่วไป เเละการขยายเวลา
1). He reads = ปัจจุบันทั่วไป (เขาอ่าน)
2). He is reading = การขยายเวลาในปัจจุบัน (เขากำลังอ่าน)

ตลอด หรือ ณ ตอนนี้	ปัจจุบันทั่วไป ใช้ในกรณีที่มีการทำตลอด อย่างเช่น: การทำเป็นประจำ	การขยายเวลาในปัจจุบัน ใช้ในกรณีที่มีการทำณ ตอนนี้ ยังทำไม่เสร็จ: “Shh! I am reading!”
ตลอดการเเละนิรันดร		ใช้เป็นบางครั้งในกรณีที่มี การกระทำซ้ำๆซากๆ เช่น: การทำให้โกธร การทำให็ฉุนเฉียวโดยจะใช้คำ always ในประโยค เช่น: He is always getting into trouble.

∗ คำกริยาที่บ่งชี้ถึงทัศนคติ ความเห็น หรือมุมมอง ไม่สามารถขยายเวลาได้ เช่น He loves milk (มีทัศนคติที่ชอบ). / I believe in her (มีมุมมองที่เชื่อ)

กฎการสะกดการขยายเวลา

∗ ถ้าลงท้ายด้วยตัว ” e” เเต่ไม่ได้ออกเสียง “e”  เช่น: to smile (ซะมาย) ให้ลบ e เเล้วเปลี่ยนเป็น smiling
∗ ถ้าลงท้ายด้วยตัว ” ie” เช่น: (die, lie, tie ) ให้ลบ “ie” เเล้วใส่ “y” +ing เช่น: to die – dying

ปัจจุบัลกาลสมบูรณ์ เเละอดีตกาลสมบูรณ์

ปัจจุบัลกาลสมบูรณ์ เเละอดีตกาลสมบูรณ์ (Present Perfect And Pluperfect)

การที่จะทำให้ปัจจุบัลกาลสมบูรณ์ เเละอดีตกาลสมบูรณ์เกิดได้นั้น จะต้องได้รับความช่วยเหลือจาก have/has/had
เเละคำกริยาอันที่สามเเบบประจำ (+ed) เเละคำกริยาอันที่สามเเบบประจำ
ยกตัวอย่าง:

ปัจจุบัน	อดีตกาล	ปัจจุบัลกาลสมบูรณ์ เเละอดีตกาลสมบูรณ์
I work	I Worked	I have/had Worked
He works	He Worked	He has/had Worked
I sing	I sang	I have/had sung
He sings	He sang	He has/had sung

∗เวลาเขียนนิยายเป็นภาษาอังกฤษ ถ้าเขียนเป็นอดีตกาล ก็ให้เขียนเป็นอดีตกาล โดยใช้อดีตกาลสมบูรณ์เช่น: When Paul died (อดีตกาล), he had made six films (อดีตกาลสมบูรณ์)

เคล็ดลับ

“IS GONE” หรือ “HAS GONE”

He has gone = เขาไปแล้ว/เดินไปเเล้ว (การเคลื่อนไหว)
He is gone = เขาจากไปเเล้ว (ไปสบายเเล้ว)

การใช้งานของคำกริยาในอดีตกาล

การใช้งานของคำกริยาในอดีตกาล

A.คำกริยา อดีตกาลแบบปกติ (Regular past tense)
ในภาษาอังกฤษอดีตกาลแบบปกติ เกิดขึ้นโดยการใส่ ed หลังคำกริยา
B.กฎการสะกดคำในอดีตกาล ที่ลงท้ายด้วยตัว Y (Y-Spelling rules)
เวลาคำกริยาในอดีตกาลแบบปกติ ลงท้ายด้วยตัว Y โดยที่มีสระก่อนตัว Y ให้เพิ่ม ed เช่น:

ยกตัวอย่าง: Destroy / Employ
Destroy	Destroyed
Employ	Employed

เเต่เวลาคำกริยาในอดีตกาลแบบปกติ ลงท้ายด้วยตัว Y โดยมีพยัญชนะก่อนตัว Y ให้เพิ่มเเค่ ied เช่น:

ยกตัวอย่าง: Marry / Hurry
Marry	Married
Hurry	Hurried

D.กฎการสะกดพยัญชนะเเบบสองตัว (Double consonant rules)
การที่คำกริยา จะสามารถสะกดพยัญชนะเเบบสองตัวได้ ต้องประกอบด้วย 2 ใน 4 กฎนี้
1. สามพยัญชนะตัวสุดท้ายในคำกริยา จะต้องเป็น: พยัญชนะ – สระ – พยัญชนะ
2. คำกริยานั้นคำพยางค์เดียว
3. คำกริยานั้นต้องมีการกดคำในคำสุดท้าย
4. คำกริยานั้นต้องลงท้ายด้วย L
ยกตัวอย่าง คำว่า Travel ที่มีส่วนประกอบกฎที่ 1 เเละ 4
ส่วนคำว่า Admit ที่มีส่วนประกอบกฎที่ 1 เเละ 3

ยกตัวอย่าง: Travel / Admit
Travel	Travelled
Admit	Admitted

คำกริยาในปัจจุบัน

คำกริยาในปัจจุบัน

เวลาเขียนนิยาย คำกริยาในปัจจุบันสามารถใช้ได้กับข้อที่เท็จจริง เวลาหมายถึงอะไร บทสรุป เเละแสดงความคิดเห็นบนเเบบเรียน

รูปปัจจุบันกาล

รูปปัจจุบันกาล คือรูปคำกิริยาธรรมดาที่ขึ้นต้นด้วย “to” อย่างเช่น: to talk
ที่ในภาษาอังกฤษเรียกว่า infinitive โดยการใช้คำกริยาในปัจจุบัน สามารถใช้ได้กับทุกคน ยกเว้น: เอกพจน์ บุคคลที่สาม ที่ต้องใส่ “s”

Infinitive: To talk
เอกพจน์
1. person	I talk
2. person	You talk
3. person	He/She/It talks
พหูพจน์
1. person	We talk
2. person	You talk
3. person	They talk

∗ อย่าลืม Everybody / Everyone / Everything คำที่ลงท้ายด้วย Body / One / Thing อยู่ในหมวดเอกพจน์ บุคคลที่ 3 (He / She / It ) ส่วน People อยู่ในหมวดพหูพจน์ บุคคลที่ 3 (They)

กฎในการสะกดคำของคำกริยาในปัจจุบัน (Spelling rules)

ในบุคคลที่สาม คำกริยาในปัจจุบันที่ลงท้ายด้วย S X Z Ch หรือ Sh จะเพิ่ม “es”

ยกตัวอย่าง: Infinitive: To wash เเละ To watch
To wash	He washes
To watch	He watches

ในบุคคลที่สาม ถ้าคำกริยาในปัจจุบันลงท้ายด้วย Y โดยที่มีพยัญชนะก่อนตัว Y ให้เพิ่ม “es” เช่น:

ยกตัวอย่าง: Infinitive: To marry เเละ To hurry
To Marry	She Marries
To Hurry	She Hurries

ให้สังเกต To do เเละ To go ด้วย

ยกตัวอย่าง: Infinitive: To go เเละ To do
To go	He goes
To do	He does

ในบุคคลที่สาม ถ้าคำกริยาในปัจจุบันลงท้ายด้วย Y โดยที่มีสระก่อนตัว Y ให้เพิ่มเเค่ “s” เช่น:

ยกตัวอย่าง: Infinitive: To destroy เเละ To employ
To destroy	It destroys
To employ	He employs

คำนาม

คำนาม (Noun)

ปกติเวลาที่จะเอ่ยถึงสิ่งของหลายๆสิ่ง คำนามในภาษาอังกฤษจะเพิ่มเเค่ “s”เข้าไป
เเต่ในกรณีที่คำนามบางคำที่ลงท้ายเเบบพิเศษ ทำให้ในบทนี้จะทำการเจาะลึกเข้าไปในคำนาม
คำนาม ที่ลงท้ายด้วย: s,x,z,ch,shให้เพิ่ม “es”

ยกตัวอย่างคำนาม: Glass / Wish
ของหนึ่งชิ้น	ของสองชิ้น
Glass	Glasses
Wish	Wishes

บางคำนาม ที่ลงท้ายด้วย: o ให้เพิ่ม “es”

ยกตัวอย่างคำนาม: Potato / Tomato
ของหนึ่งชิ้น	ของสองชิ้น
Potato	Potatoes
Tomato	Tomatoes

ในขณะที่คำอื่นๆให้เพิ่มเเค่ “s”

ยกตัวอย่างคำนาม: Radio / Photo
ของหนึ่งชิ้น	ของสองชิ้น
Radio	Radios
Photo	Photos

∗ปกติเวลาจะดูว่า คำนาม ที่มีตัว o ลงท้ายตัวไหน ที่จะต้องใส่ “es” หรือ “s” ให้ดูตรงที่ของสิ่งนั้นถูกสร้างขึ้นมาตอนไหน เช่น มะเขือเทศ (Tomato) มีการเกิดขึ้นมานานมากเเล้ว เเต่ภาพถ่าย (Photo) เกิดขึ้นไม่นานมานี้ เเต่ถ้าสงสัยให้เปิดดูในพจนานุกรม

คำนาม ที่ลงท้ายด้วยตัว: Y เเต่ก่อนตัว Y ถ้าเป็นพยัญชนะให้เพิ่ม “ies”
เเต่ถ้าเป็นสระ ก่อนตัว Y ให้เพิ่มเเค่ “s”

ยกตัวอย่างคำนาม: Baby / Boy
ของหนึ่งชิ้น	ของสองชิ้น
Baby	Babies
Boy	Boys

คำนามบางคำ ที่ลงท้ายด้วย: F เเละ Fe ให้ลบ F หรือ Fe เเละเพิ่ม “ves”

ยกตัวอย่างคำนาม: Life / Knife / Wolf
ของหนึ่งชิ้น	ของสองชิ้น
life	lives
knife	knives
wolf	wolves

ส่วนบางคำนาม ที่ลงท้ายด้วย: F ให้เพิ่มเเค่ “s”
∗ถ้าสงสัย ให้เปิดดูในพจนานุกรม

ยกตัวอย่างคำนาม: Roof / Chief
ของหนึ่งชิ้น	ของสองชิ้น
Roof	Roofs
Chief	Chiefs

ลอการิทึม

ลอการิทึม (Logarithm)

ลอการิทึม คืออะไร?

ลอการิทึม คือฟังก์ชันผกผันที่มี 10^x เเละ e^x โดย log(x) คือฟังก์ชันผกผันที่มี 10^x
เเละ ln(x) คือฟังก์ชันผกผันที่มี e^x
การอ่านกราฟจากลอการิทึม จะเเตกต่างจากการอ่านกราฟจากฟังก์ชั่นเชิงเส้น เเละฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
โดยปกติการอ่านกราฟจากฟังก์ชั่นเชิงเส้น เเละฟังก์ชันเลขชี้กำลังจะอ่านจาก x เเล้วขึ้นไปหา y
เเต่ลอการิทึมจะอ่านจาก y เเล้วลงมาหา x

หลักๆ ลอการิทึมจะมีสูตรอยู่ 3 เเบบ:

1). log(a∗b) = log(a) + log(b)

2). log (a / b) = log(a) – log(b)

3). log(a^x)=x∗log(a)

พิสูจน์ลอการิทึมสูตรที่ 1.

1). log(a∗b) = log(a) + log(b)

เพราะ 10 ต่อต่านกับ log ทำให้:

a = 10^log(a) เเละ b = 10^log(b)

โดย log(a∗b) สามารถเขียนได้เเบบนี้:

log(a∗b) = log(10^log(a))∗ log(10^log(b))

ใช้การยกกำลัง: a^r∗a^s = a^r+s

log(a∗b) = log(10^{log(a) + log(b)})

จะเห็นได้ว่า: 10^log ต่อต้านกันทำให้เหลือ:

log(a∗b) = log(a) + log(b)

พิสูจน์ลอการิทึมสูตรที่ 2.

การพิสูจน์ลอการิทึมสูตรที่สอง จะเเปลกว่าการการพิสูจน์ลอการิทึมอันอื่นๆ
โดยเป็นการนำบทพิสูจน์ จากสูตรที่หนึ่ง มาลองใช้อีกครั้งว่า ใช่มั้ย?

2). log (a / b) = log(a) – log(b)

เริ่มต้นด้วยการบวก log(b) ทั้งสองด้าน

log (a / b) + log(b) = log(a) – log(b) + log(b)

log(b) จะต่อต้านกัน ทำให้เหลือเเค่ log(a)

log (a / b) + log(b) = log(a)

จากการพิสูจน์ลอการิทึมสูตรที่หนึ่ง จะเห็นได้ว่า: log(a) + log(b) = log(a∗b)
ทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็น log (a / b ∗ b)

log (a / b ∗ b) = log(a)

คูณ b กับหาร b ต่อต้านกัน ทำให้เหลือ:

log (a) = log(a)

ถ้า log (a) = log(a) เเสดงว่า การลองใช้สูตร log (a / b) = log(a) – log(b) ตั้งเเต่ทีเเรก ใช้ได้ผล

พิสูจน์ลอการิทึมสูตรที่ 3.

3). log(a^x)=x∗log(a)

เพราะ 10 ต่อต่านกับ log ทำให้รู้ว่า:

a = 10^log(a)

เอา a มายกกำลัง x หรือ “a^x” จะได้:

a^x=10^x∗log(a)

ใส่ log ทั้งสองด้าน:

log(a^x)=log(10^x∗log(a))

log กับ 10 ต่อต้านกัน ทำให้เหลือ:

log(a^x)=x∗log(a)

ปริพันธ์แคลคูลัส

ปริพันธ์แคลคูลัส

การหาปริพันธ์แคลคูลัส หรือการอินทิเกรต หลักๆ เเบ่งออกเป็นสองเเบบ โดยเเบบที่หนึ่ง เป็นการใช้ปริพันธ์แคลคูลัส เพื่อหาปฏิยานุพันธ์ ก็คือ: F(x) ส่วนอันที่สองใช้ในการหาพื้นที่ของฟังก์ชัน ซึ่งจะใช้ตัวหย่อ =ΔA

เเบบ ที่หนึ่ง:

เเบบ ที่สอง:

พิสูจน์ปริพันธ์แคลคูลัสในการหาพื้นที่ของฟังก์ชัน

ด้วยความช่วยเหลือจากสามขั้นตอน จากบทอนุพันธ์แคลคูลัส โดยขั้นตอนที่หนึ่ง ในการหาΔA หรือพื้นที่บนกราฟ สามารถหาได้เเบบนี้

1). ΔA = A(x₀+h) – A(x₀)
ถ้าดูบนกราฟจะให้ได้ว่ากราฟมีการเติบโต เเละ ΔA อยู่ตรงกลาง (x₀) เเละ (x₀+h)  เเสดงว่า ΔA อยู่ตรงกลาง f(x₀+h)  เเละ  f(x₀) ทำให้:
f(x₀) * h  < ΔA   < f(x₀+h) * h

ต่อมาก็หารด้วย h
2). (f(x₀) * h) / h  < ΔA / h  < (f(x₀+h) * h) / h
โดย h ต่อด้านกันทำให้เหลือ
f(x₀)  < ΔA / h  < f(x₀+h)

ถ้า h เข้าใกล้ 0 หรือ h –> 0 ทำให้เหลือ
3). f(x₀)  < ΔA / h  < f(x₀)
โดย ΔA / h ถ้า h เข้าใกล้ 0 หรือ h –> 0  สามารถเขียนใหม่ได้เเบบนี้:
A'(x) = f(x)