สถิติ

สถิติ (statistics)

ถ้าพูดถึงเรื่องรายได้ประชากร ผลกีฬา หรือสภาพอากาศ จำเป็นอย่างมากที่ต้องดูในเรื่องสถิติ โดยหลักๆเเล้วสถิติจะสามารถสังเกตได้ 2 เเบบ:

1. เเบบไม่ใช่กลุ่ม
2. เเบบกลุ่ม

โดยการหาค่าเฉลี่ย ของสองเเบบจะมีจุดเเตกต่างกัน โดยที่เเบบไม่ใช่กลุ่ม นำเอาจำนวน มาคูณกับความถี่ในเปอร์เซ็นต์
ยกตัวอย่าง เเบบไม่ใช่กลุ่ม:

จากความช่วยเหลือบนตารางความถี่ในเปอร์เซ็นต์ ทำให้สามารถหา ค่าเฉลี่ยเเบบไม่ใช่กลุ่มได้:
ค่าเฉลี่ย ที่มีสัญญลักษณ์ “μ” = 8 * 12% + 9 * 15% +….+13 * 14% = 1059% = 10,59.
ยกตัวอย่าง เเบบกลุ่ม:

 

จากความช่วยเหลือบนตารางความถี่ในเปอร์เซ็นต์ ทำให้สามารถหา ค่าเฉลี่ยเเบบกลุ่มได้ด้วย การนำศูนย์กลางบนระยะห่าง มาคูณกับความถี่ในเปอร์เซ็นต์:
ค่าเฉลี่ย ที่มีสัญญลักษณ์ “μ” = 11 * 10% + 13 * 17,5% +….+19 * 15% = 15,25%
นอกจากนี้ยังสามารถนำค่าเฉลี่ย มาหาความแปรปรวนเเละค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน ได้อีกด้วย

การหาความแปรปรวน ที่มีสัญญลักษณ์: Var(X) = E(X²) – (E(X)²) โดยบนตัวอย่าง: Var(X) = 238 – 15,25² = 5,4375
เเละการหาค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน: σ/ Σ =  √  5,4375 = 2,33

พิสูจน์การหาความแปรปรวน

VAR(X) = E(X²)-(E(X)²)

ถ้าดูตรงตารางข้างบนจะเห็นได้ว่า f₁ + f₂ +…= 100% หรือเเละมีค่า =  1 เเละ E(X) = x₁f₁ + x₂f₂
เเละ E(X²) = x₁² f₁ + x₂² f₂

VAR(X) = f₁(x₁-μ)²+f₂(x₂-μ)²

ใช้ทฤษฎีบททวินาม (x-y)²=x²+y^2-2xy:

VAR(X) = f₁(x₁²+μ²-2x₁μ)+f₂(x₂²+μ²-2x₂μ)

คูน f₁ เเละ f₂ เข้าไปในวงเล็บ:

VAR(X) = f₁x₁²+f₁μ²-2μf₁x₁+f₂x₂²+f₂μ²-2μf₂x₂

เรียงในเป็นระเบียบ:

VAR(X) = f₁x₁²+f₂x₂²+f₁μ²+f₂μ²-2μf₁x₁-2μf₂x₂

จะเห็นได้ว่า: f₁x₁²+f₂x₂² = E(X²)

VAR(X) = E(X²)+μ²(f₁+f₂)-2μ(f₁x₁+f₂x₂)

เเละ f₁ + f₂ = 1 ก็จะเหลือ:

VAR(X) = E(X²)+μ²-2μ²

ส่วน 1μ²-2μ² = -1μ²

VAR(X) = E(X²)-1μ²

μ² สามารถเขียนได้อีกเเบบ คือ: (E(X)²)

VAR(X) = E(X²)-(E(X)²)