ลอการิทึม

ลอการิทึม (Logarithm)

ลอการิทึม คืออะไร?

ลอการิทึม คือฟังก์ชันผกผันที่มี 10^x เเละ e^x โดย log(x) คือฟังก์ชันผกผันที่มี 10^x
เเละ ln(x) คือฟังก์ชันผกผันที่มี e^x
การอ่านกราฟจากลอการิทึม จะเเตกต่างจากการอ่านกราฟจากฟังก์ชั่นเชิงเส้น เเละฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
โดยปกติการอ่านกราฟจากฟังก์ชั่นเชิงเส้น เเละฟังก์ชันเลขชี้กำลังจะอ่านจาก x เเล้วขึ้นไปหา y
เเต่ลอการิทึมจะอ่านจาก y เเล้วลงมาหา x

หลักๆ ลอการิทึมจะมีสูตรอยู่ 3 เเบบ:

1). log(a∗b) = log(a) + log(b)

2). log (a / b) = log(a) – log(b)

3). log(a^x)=x∗log(a)

พิสูจน์ลอการิทึมสูตรที่ 1.

1). log(a∗b) = log(a) + log(b)

เพราะ 10 ต่อต่านกับ log ทำให้:

a = 10^log(a) เเละ b = 10^log(b)

โดย log(a∗b) สามารถเขียนได้เเบบนี้:

log(a∗b) = log(10^log(a))∗ log(10^log(b))

ใช้การยกกำลัง: a^r∗a^s = a^r+s

log(a∗b) = log(10^{log(a) + log(b)})

จะเห็นได้ว่า: 10^log ต่อต้านกันทำให้เหลือ:

log(a∗b) = log(a) + log(b)

พิสูจน์ลอการิทึมสูตรที่ 2.

การพิสูจน์ลอการิทึมสูตรที่สอง จะเเปลกว่าการการพิสูจน์ลอการิทึมอันอื่นๆ
โดยเป็นการนำบทพิสูจน์ จากสูตรที่หนึ่ง มาลองใช้อีกครั้งว่า ใช่มั้ย?

2). log (a / b) = log(a) – log(b)

เริ่มต้นด้วยการบวก log(b) ทั้งสองด้าน

log (a / b) + log(b) = log(a) – log(b) + log(b)

log(b) จะต่อต้านกัน ทำให้เหลือเเค่ log(a)

log (a / b) + log(b) = log(a)

จากการพิสูจน์ลอการิทึมสูตรที่หนึ่ง จะเห็นได้ว่า: log(a) + log(b) = log(a∗b)
ทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็น log (a / b ∗ b)

log (a / b ∗ b) = log(a)

คูณ b กับหาร b ต่อต้านกัน ทำให้เหลือ:

log (a) = log(a)

ถ้า log (a) = log(a) เเสดงว่า การลองใช้สูตร log (a / b) = log(a) – log(b) ตั้งเเต่ทีเเรก ใช้ได้ผล

พิสูจน์ลอการิทึมสูตรที่ 3.

3). log(a^x)=x∗log(a)

เพราะ 10 ต่อต่านกับ log ทำให้รู้ว่า:

a = 10^log(a)

เอา a มายกกำลัง x หรือ “a^x” จะได้:

a^x=10^x∗log(a)

ใส่ log ทั้งสองด้าน:

log(a^x)=log(10^x∗log(a))

log กับ 10 ต่อต้านกัน ทำให้เหลือ:

log(a^x)=x∗log(a)