อนุพันธ์แคลคูลัส คืออะไร?
อนุพันธ์แคลคูลัส เป็นสิ่งที่สำคัญอย่างหนึ่ง ในการวิเคราะห์คณิตศาสตร์
อนุพันธ์แคลคูลัส คือการ กำหนดความเร็วของฟังก์ชั่นที่เติบโตขึ้นเเละลดลงในจุดใดจุดหนึ่งของฟังก์ชัน
โดยการหาความลาดชันของเส้นสัมผัส (
tangent ตัวย่อ
at) การหาเส้นสัมผัสไม่สามารถทำได้โดยตรง ชะนั้นจำเป็นที่ต้องพึ่งเส้นตัดที่สองจุด (
secant ตัวย่อ
as)เพื่อหาเส้นสัมผัส.
นอกจากนี้ยังสามารถใช้เส้นสัมผัส เพื่อตรวจสอบการทำงานของจุดสูงสุดและจุดต่ำสุดของฟังก์ชั่นได้อีกด้วย
ทฤษฎีเเละการพิสูจน์
ด้วยสามขั้นตอนนี้ ทำให้สามารถหาเส้นสัมผัสได้ เเละทฤษฎีนี้สามารถรพิสูจน์ได้โดยสามขั้นตอนนี้
1. Δf = ƒ(x0+h)-ƒ(x0)
2. as = Δf ⁄ h
3. at = as⇒at , h⇒0
โดยในที่นี้ เราจะมาดูสมการยกกำลังสอง ที่เวลาทำการอนุพันธ์ จะสามารถทำให้หาเส้นสัมผัสเเละกำหนดความเร็วได้:
f(x) = (ax²+bx+c)’=> f'(x)= 2ax+b
เริ่มต้นด้วยขั้นตอนที่หนึ่ง ด้วยการหา Δf
1. Δf = ƒ(x0+h)-ƒ(x0)
ใช้สมการยกกำลังสอง โดยใส่ (x
0+h)เข้าไปตรง x
ƒ(x0+h) = a(x0+h)2+b(x0+h)+c
ใช้ทฤษฎีบททวินาม (x+y)
2=x
2+y
2+2xy
ƒ(x0+h) = a(x2+h2+2x0h)+b(x0+h)+c
คูณเข้าไปในวงเล็บ
ƒ(x0+h) = ax2+ah2+2ax0h+bx0+bh+c
ลบด้วย f(x)=(ax²+bx+c)
Δf = ax2+ah2+2ax0h+bx0+bh+c-(ax²+bx+c)
โดย ax²+bx+c ต่อต้านกันทำให้เหลือ
Δf = ah2+2ax0h+bh
2. as = Δf ⁄ h
Δf มีตัวประกอบคือ h ทำให้สามารถนำ h ออกวานอกวงเล็บได้
as = ah2+2ax0h+bh ⁄ h ⇔ h(ah+2ax0+b) ⁄ h
h หาร h ต่อต้านกันทำให้เหลือ
as = ah+2ax0+b
3. at = as→at , h→0
ถ้าดูจากกราฟข้างบนตรงจุด f(x
0+h)จะเห็นได้ว่าเวลา f(x
0+h) เลื่อนลงมาใกล้จุด f(x
0)จะทำให้ค่าของ h เป็น 0
at = ah+2ax0+b⇒2ax0+b , h⇒0
เวลาที่ a
s เลื่อนลงมาใกล้จุด a
t จะทำให้ค่า h เป็น 0
at = 2ax0+b
ไม่มีความคิดเห็น:
แสดงความคิดเห็น